Question

已知集合A={a₁，a₂，…，a_k（k≥2）}，其中a_i∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}．其中（a，b）是有序數(shù)對(duì)，集合S和T中的元素個(gè)數(shù)分別為m和n．若對(duì)于任意的a∈A，總有-a∉A，則稱集合A具有性質(zhì)P．
（I）檢驗(yàn)集合{0，1，2，3}與{-1，2，3}是否具有性質(zhì)P并對(duì)其中具有性質(zhì)P的集合，寫出相應(yīng)的集合S和T；
（II）對(duì)任何具有性質(zhì)P的集合A，證明：；
（III）判斷m和n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用性質(zhì)P的定義判斷出具有性質(zhì)P的集合，利用集合S，T的定義寫出S，T．
（II）據(jù)具有性質(zhì)P的集合滿足a∈A，總有-a∉A，得到0∉A得到（a_i，a_i）∉T；當(dāng)（a_i，a_j）∈T時(shí)，（a_j，a_i）∉T，求出T中的元素個(gè)數(shù)．
（III）對(duì)應(yīng)S中的元素?fù)?jù)S，T的定義得到也是T中的元素，反之對(duì)于T中的元素也是s中的元素，得到兩個(gè)集合中的元素相同．
解答：（I）解：集合{0，1，2，3}不具有性質(zhì)P．
集合{-1，2，3}具有性質(zhì)P，其相應(yīng)的集合S和T是
S=（-1，3），（3，-1），T=（2，-1），（2，3）．
（II）證明：首先，由A中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)（a_i，a_j）共有k²個(gè)．
因?yàn)?∉A，所以（a_i，a_i）∉T（i=1，2，，k）；
又因?yàn)楫?dāng)a∈A時(shí)，-a∉A時(shí)，-a∉A，
所以當(dāng)（a_i，a_j）∈T時(shí)，（a_j，a_i）∉T（i，j=1，2，，k）．
從而，集合T中元素的個(gè)數(shù)最多為，
即．
（III）解：m=n，證明如下：
（1）對(duì)于（a，b）∈S，根據(jù)定義，
a∈A，b∈A，且a+b∈A，從而（a+b，b）∈T．
如果（a，b）與（c，d）是S的不同元素，
那么a=c與b=d中至少有一個(gè)不成立，
從而a+b=c+d與b=d中也至少有一個(gè)不成立．
故（a+b，b）與（c+d，d）也是T的不同元素．
可見，S中元素的個(gè)數(shù)不多于T中元素的個(gè)數(shù)，即m≤n，
（2）對(duì)于（a，b）∈T，根據(jù)定義，a∈A，b∈A，
且a-b∈A，從而（a-b，b）∈S．
如果（a，b）與（c，d）是T的不同元素，
那么a=c與b=d中至少有一個(gè)不成立，
從而a-b=c-d與b=d中也不至少有一個(gè)不成立，
故（a-b，b）與（c-d，d）也是S的不同元素．
可見，T中元素的個(gè)數(shù)不多于S中元素的個(gè)數(shù)，即n≤m，
由（1）（2）可知，m=n．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用題中的新定義解題；新定義題是近幾年常考的題型，要重視．