【題目】如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，，，且，，．

（1）證明：平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離；

（3）求二面角的余弦值．

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）首先取的三等分點(diǎn)，連結(jié)，，根據(jù)題意得到，，即四邊形是平行四邊形，所以.再根據(jù)線面平行的判定即可證明平面.

（2）首先證明平面，再分別以，，為軸軸軸，建立空間坐標(biāo)系，求出，平面法向量，代入點(diǎn)到面的距離公式即可.

（3）分別求出平面和平面的法向量，代入二面角公式即可.

（1）

取的三等分點(diǎn)，連結(jié)，，則．

又因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>，所以，四邊形是平行四邊形.

所以，

又平面平面，平面PAD，

所以平面.

（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．

因?yàn)?/span>，，所以，

所以，因?yàn)?/span>，，

所以平面.

分別以，，為軸軸軸，建立空間坐標(biāo)系，

，，，，，.

，，.

設(shè)平面法向量，

因?yàn)?/span>，所以，

點(diǎn)到平面的距離，

點(diǎn)到平面的距離為．

（3），，

設(shè)平面的法向量為，則

，即，

，，

設(shè)平面的法向量為，

，即，

所以，二面角的余弦值為.

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（1）結(jié)合圖，寫出集合；

（2）根據(jù)以上信息，求出一臺(tái)凈水器在使用期內(nèi)更換二級(jí)濾芯的費(fèi)用大于元的概率（以臺(tái)凈水器更換二級(jí)濾芯的頻率代替臺(tái)凈水器更換二級(jí)濾芯發(fā)生的概率）；

（3）若在購(gòu)買凈水器的同時(shí)購(gòu)買濾芯，則濾芯可享受折優(yōu)惠（使用過(guò)程中如需再購(gòu)買無(wú)優(yōu)惠）.假設(shè)上述臺(tái)凈水器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)，每臺(tái)均購(gòu)買個(gè)一級(jí)濾芯、個(gè)二級(jí)濾芯作為備用濾芯（其中，），計(jì)算這臺(tái)凈水器在使用期內(nèi)購(gòu)買濾芯所需總費(fèi)用的平均數(shù).并以此作為決策依據(jù)，如果客戶購(gòu)買凈水器的同時(shí)購(gòu)買備用濾芯的總數(shù)也為個(gè)，則其中一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù)應(yīng)分別是多少？

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