Question

（本小題滿分16分）
已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列．
（1）若，且，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的條件下，數(shù)列的前和為，設(shè)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；
（3）若數(shù)列中有兩項(xiàng)可以表示為某個(gè)整數(shù)的不同次冪，求證：數(shù)列　中存在無窮多項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列．

Answer 1

（1）的通項(xiàng)公式．（2）實(shí)數(shù)的最小值為．
（3）有等比數(shù)列，其中．   

本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和的綜合運(yùn)用。
（1）因?yàn)橐驗(yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823223142693796.png" style="vertical-align:middle;" /> 又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823223141804466.png" style="vertical-align:middle;" />是正項(xiàng)等差數(shù)列，故，利用等差數(shù)列的某兩項(xiàng)可知其通項(xiàng)公式的求解。
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823223142818592.png" style="vertical-align:middle;" />，可知其的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)求和的思想得到結(jié)論。
（3）因?yàn)檫@個(gè)數(shù)列的所有項(xiàng)都是正數(shù)，并且不相等，所以，
設(shè)其中 是數(shù)列的項(xiàng)，是大于1的整數(shù)，
分析證明。
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823223142693796.png" style="vertical-align:middle;" /> 又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823223141804466.png" style="vertical-align:middle;" />是正項(xiàng)等差數(shù)列，故
所以，得或(舍去) ，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．………………………………………………4分
（2） 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823223142818592.png" style="vertical-align:middle;" />，
，

　　 ，
令，則， 當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以在上是增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，， 要使對(duì)任意的正整數(shù)， 不等式恒成立，
則須使， 所以實(shí)數(shù)的最小值為．…………………………10分
（3）因?yàn)檫@個(gè)數(shù)列的所有項(xiàng)都是正數(shù)，并且不相等，所以，
設(shè)其中 是數(shù)列的項(xiàng)，是大于1的整數(shù)，，
令，則，
故是的整數(shù)倍，對(duì)的次冪，
所以，右邊是的整數(shù)倍．
所有這種形式是數(shù)列中某一項(xiàng)，
因此有等比數(shù)列，其中．   …………………………16分