給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標(biāo)原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個焦點為F2（
2
，0），其短軸上的一個端點到F2距離為
3
．
（1）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）若過點P（0，m）（m＜0）的直線與橢圓C只有一個公共點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
，求m的值；
（3）過橢圓C的“伴橢圓”上一動點Q作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個公共點，當(dāng)直線l1，l2都有斜率時，試判斷直線l1，l2的斜率之積是否為定值，并說明理由．
（1）由題意可知：c=
2
，a=
3
，∴b2=a2-c2=1．
∴橢圓方程為：
x2
3
+y2=1，
a2+b2
=2；
∴橢圓C的“伴橢圓”方程為：x2+y2=4．
（2）設(shè)直線方程為：y=kx+m
∵截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
，
∴圓心到直線的距離d=
|m|
1+k2
，
∵d2+(
2
)2=r2，∴d2=2，∴m2=2（1+k2）．（*）
又
x2+3y2=3
y=kx+m
得（1+3k2）x2+6mkx+3m2-3=0，
∵直線l與橢圓相切，
∴△=1+3k2-m2=0，
把（*）代入上式得m2=4，∵m＜0，解得m=-2．
∴m=-2．
（3）設(shè)Q（x0，y0），直線y-y0=k（x-x0），
由（2）可知1+3k2-m2=1+3k2-(y0-kx0)2=0，
即(3-
x20
)k2+2y0x0k+1-
y20
=0，∴k1k2=
1-
y20
3-
x20
，
又∵Q（x0，y0）在“伴橢圓”上，∴
x20
+
y20
=4，∴3-
x20
=
y20
-1．
∴k1k2=-1為定值．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標(biāo)原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 已知橢圓C的兩個焦點分別是F1(-
2
，0)、F2(
2
，0)，橢圓C上一動點M1滿足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程
（Ⅱ）試探究y軸上是否存在點P（0，m）（m＜0），使得過點P作直線l與橢圓C只有一個交點，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
．若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（＞b＞0），將圓心在原點O、半徑是
a2+b2
的圓稱為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1．
（Ⅰ）過橢圓C的“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，求l1，l2的方程；
（Ⅱ）若點A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與X軸正半軸的交點，B，D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求
AB
•
AD
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，稱圓心在原點O、半徑是
a2+b2
的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個焦點為F(
2
，0)，其短軸的一個端點到點F的距離為
3
．
（1）求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；
（2）若點A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點，B，D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求
AB
•
AD
的取值范圍；
（3）在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點P，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，試判斷l(xiāng)1，l2是否垂直？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，稱圓心在坐標(biāo)原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓m的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個焦點為F2(
2
，0)，其短軸上的一個端點到F2距離為
3
．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若過點P（0，m）（m＜0）的直線l與橢圓C只有一個公共點，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
，求m的值；
（Ⅲ）過橢圓C“伴橢圓”上一動點Q作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個公共點，試判斷直線l1，l2的斜率之積是否為定值，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標(biāo)原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個焦點為F2（
2
，0），其短軸上的一個端點到F2距離為
3
．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若過點P（0，m）（m＜0）的直線l與橢圓C只有一個公共點，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
，求m的值．

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