Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax，把函數(shù)f（x）的圖象向左平移一個單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象，且一個（x）是偶函數(shù)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-[g（x）+1]，求函數(shù)F（x）在區(qū)間[[1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）利用圖象平移的規(guī)律得到g（x）的解析式，根據(jù)y=f（x）是偶函數(shù)，令1-a=0求出a的值．
（II）求出F（x），F(xiàn)′（x），令導(dǎo)數(shù)為0求出兩個根，列出x在[1，3]上變化時，F(xiàn)′（x），F(xiàn)（x）的變化情況表，求出最值．

解答：解：（Ⅰ）由題意得g（x）=f（x+1）=x²+2（1-a）x-2a+1． （2分）
∵y=f（x）是偶函數(shù)，
∴1-a=0
∴a=1 （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x²-2x，g（x）=x²-1
∴F（x）=f（x）-[g（x）+1]=x⁴-2x³（5分）
∴F′（x）=4x³-6x²=2x²（2x-3）（6分）
令2x²（2x-3）=0得x₁=x₂=0，x₃=

3

2

 （8分）
當(dāng)x在[1，3]上變化時，F(xiàn)′（x），F(xiàn)（x）的變化情況如下表

x	1	(1， 3 2 )	3 2	( 3 2 ，3)	3
F′（x）		-	0	+
F（x）	-1	↘	- 27 16	↗	27

（12分）
∴函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，3]上的最大值、最小值分別是27、-

27

16

． （13分）

點(diǎn)評：求一個函數(shù)在一個閉區(qū)間上的最值，一般求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0求出根，列出自變量、導(dǎo)函數(shù)、函數(shù)的變化情況表，由表得到函數(shù)的最值．