已知函數(shù)f(x)=x2-2ax,把函數(shù)f(x)的圖象向左平移一個單位得到函數(shù)y=g(x)的圖象,且一個(x)是偶函數(shù).
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-[g(x)+1],求函數(shù)F(x)在區(qū)間[[1,3]上的最大值和最小值.
分析:(I)利用圖象平移的規(guī)律得到g(x)的解析式,根據(jù)y=f(x)是偶函數(shù),令1-a=0求出a的值.
(II)求出F(x),F(xiàn)′(x),令導(dǎo)數(shù)為0求出兩個根,列出x在[1,3]上變化時,F(xiàn)′(x),F(xiàn)(x)的變化情況表,求出最值.
解答:解:(Ⅰ)由題意得g(x)=f(x+1)=x
2+2(1-a)x-2a+1. (2分)
∵y=f(x)是偶函數(shù),
∴1-a=0
∴a=1 (4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x
2-2x,g(x)=x
2-1
∴F(x)=f(x)-[g(x)+1]=x
4-2x
3(5分)
∴F′(x)=4x
3-6x
2=2x
2(2x-3)(6分)
令2x
2(2x-3)=0得x
1=x
2=0,x
3=
(8分)
當(dāng)x在[1,3]上變化時,F(xiàn)′(x),F(xiàn)(x)的變化情況如下表
x |
1 |
(1,) |
|
(,3) |
3 |
F′(x) |
|
- |
0 |
+ |
|
F(x) |
-1 |
↘ |
- |
↗ |
27 |
(12分)
∴函數(shù)y=F(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值、最小值分別是27、
-. (13分)
點(diǎn)評:求一個函數(shù)在一個閉區(qū)間上的最值,一般求出導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)為0求出根,列出自變量、導(dǎo)函數(shù)、函數(shù)的變化情況表,由表得到函數(shù)的最值.