Question

有一種闖三關(guān)游戲規(guī)則規(guī)定如下：用拋擲正四面體型骰子（各面上分別有1，2，3，4點(diǎn)數(shù)、質(zhì)地均勻的正四面體）決定是否過(guò)關(guān)，在闖第n（n=1，2，3）關(guān)時(shí)，需要拋擲n次骰子，當(dāng)n次骰子面朝下的點(diǎn)數(shù)之和大于n²時(shí)，則算闖此關(guān)成功，并且繼續(xù)闖關(guān)，否則停止闖關(guān)．每次拋擲骰子相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求僅闖過(guò)第一關(guān)的概率；
（Ⅱ）記成功闖過(guò)的關(guān)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（I）由題意記“僅闖過(guò)第一關(guān)的概率”這一事件為A，利用獨(dú)立事件的概率公式即可；
（II）由于ξ表示成功闖過(guò)的關(guān)的次數(shù)，由題意則ξ的取值有0，1，2，3，并利用隨機(jī)變量得到定義求出每一個(gè)值下對(duì)應(yīng)的事件的概率，有分布列定義求出其分布列，并根據(jù)期望定義求出期望．

解答：解：（Ⅰ）記“僅闖過(guò)第一關(guān)的概率”這一事件為A，
第1關(guān)過(guò)了的概率為

3

4

，而第2關(guān)沒(méi)過(guò)的情況有如下三種：（1，1）、（1，2）、（2，1），（2，2）（3，1），（1，3），概率為

6

16

，
所以僅闖過(guò)第一關(guān)的概率為P（A）=

3

4

×

6

16

=

9

32

（Ⅱ）由題意得，ξ的取值有0，1，2，3，
∵p(ξ=0)=

1

4

，P（ξ=1）=

9

32

P（ξ=2）=

3

4

•

5

8

•

54

64

=

405

1024

P（ξ=3）=

3

4

•

5

8

•

5

32

=

75

1024

即隨機(jī)變量ξ的概率分布列為：

ξ	0	1	2	3
p	1 4	9 32	405 1024	75 1024

所以 Eξ=0×

1

4

+1×

9

32

+2×

405

1024

+3×

75

1024

=

1323

1024

點(diǎn)評(píng)：此題重在準(zhǔn)確理解題意，還考查了獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，隨機(jī)變量的定義及其分布列，并利用隨機(jī)變量的分布列求其期望．