Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c滿足f（-1）=0，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有f（x）-x≥0，并且當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）≤．
（1）求f（1）的值；
（2）求證：a＞0，c＞0；
（3）當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-mx，m∈R是單調(diào)的，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c滿足f（-1）=0，∴a+c=b，函數(shù)f（x）=ax²+（a+c）x+c．
∵當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）≤，∴f（1）≤1．
又對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有f（x）-x≥0，∴f（1）-1≥0，f（1）≥1，故 f（1）=1．
（2）由題意得，f（x）-x=ax²+（a+c-1）x+c≥0恒成立，∴a＞0，且f（0）-0≥0 恒成立，
∴c≥0．
綜上，a＞0，c≥0．
（3）∵g（x）=f（x）-mx=ax²+（a+c-m）x+c，當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，g（x）是單調(diào)的，
∴≤-1，或 ≥1，∴m≤c-a，或 m≥3a+c，
故m的取值范圍為（-∞，c-a]∪[3a+c，+∞）．
分析：（1）由f（x）≤可得 f（1）≤1，由f（x）-x≥0可得 f（1）≥1，故有（1）=1．
（2）f（x）-x≥0恒成立，可得a＞0，且f（0）-0≥0 恒成立，從而得到c≥0．
（3）由題意得，g（x）的對(duì)稱軸在區(qū)間（-1，1）的左邊或右邊，即 ≤-1，或 ≥1，解出m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解分式不等式，正確使用題中條件是解題的關(guān)鍵．