Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=sin2x+2 sin（x+ ）cos（x﹣ ）﹣cos2x﹣ ．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[﹣ ， π]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=sin2x+2 sin（x+ ）cos（x﹣ ）﹣cos2x﹣

=﹣cos2x+2 （ sinx+ cosx）（ cosx+ sinx）﹣ =﹣cos2x+2 （ + sin2x）﹣

= sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣ ），

令2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，求得kπ+ ≤x≤kπ ，可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+ ，kπ ]，k∈Z

（2）解：在[﹣ ， π]上，2x﹣ ∈[﹣ ， ]，故當2x﹣ = 時，函數(shù)f（x）取得最大值為2
【解析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的減區(qū)間．（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）在[﹣ ， π]上的最大值．
【考點精析】本題主要考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性和三角函數(shù)的最值的相關(guān)知識點，需要掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性：在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)；函數(shù)，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，才能正確解答此題．