在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且2acosC+c-2b=0.
(Ⅰ)求角A的大;
(Ⅱ)若a=1,求△ABC的周長l的取值范圍.
分析:(I)用正弦定理化簡已知等式,結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式化簡整理得sinC(1-2cosA)=0,再由sinC>0,解出cosA=
1
2
,可得A=
π
3
;
(II)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,代入題中數(shù)據(jù)并結(jié)合基本不等式解出b+c∈(1,2],由此可得△ABC的周長l取值范圍.
解答:解:(I)由正弦定理,得
∵2acosC+c-2b=0,∴2sinAcosC+sinC-2sinB=0,
∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
∴代入上式,得sinC-2cosAsinC=0,即sinC(1-2cosA)=0
∵C∈(0,π),得sinC>0,
∴1-2cosA,得cosA=
1
2
.結(jié)合A為三角形的內(nèi)角,可得A=
π
3
;
(2)∵由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-bc=a2=1
∴(b+c)2=1+3bc
∵bc≤
(b+c)2
4
,
∴(b+c)2≤1+
3
4
(b+c)2,可得(b+c)2≤4,得b+c≤2
∵△ABC中,b+c>a=1,∴b+c∈(1,2]
由此可得:a+b+c∈(2,3],即△ABC的周長l取值范圍為(2,3].
點評:本題給出實際應(yīng)用問題,求三角形的周長的范圍.著重考查了正余弦定理、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角恒等變換公式、基本不等式求最值等知識,屬于中檔題.
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在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,若b2+c2-a2=
3
bc
,且b=
3
a
,則下列關(guān)系一定不成立的是(  )
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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b
a
=
sinB
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2
sinB-cosC
,并求它的最大值.

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5
,b=3,sinC=2sinA
,則sinA=
 

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