Question

房間里有n盞電燈，分別由n個開關(guān)控制，至少開1盞燈用以照明，共有a_n種不同的照明方法（其中n∈N^*）
（1）當n=5時，求a₅；
（2）求a_n；
（3）求證：

1

a1+1

+

1

2(a2+1)

+…+

1

n(an+1)

＜1．

Answer 1

考點：二項式定理的應(yīng)用

專題：綜合題,二項式定理

分析：（1）a₅表示房間里有5個開關(guān)控制，至少開1盞燈用以照明的照明方法；
（2）利用間接法，可求a_n；
（3）利用放縮法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可得結(jié)論．

解答： （1）解：a5=

C

1 5

+

C

2 5

+

C

3 5

+

C

4 5

+

C

5 5

=31；                          （2分）
（2）解：an=

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

=2n-1；                            （6分）
（3）證明：因為

1

n(an+1)

=

1

n•2n

≤

1

2n

，
所以

1

a1+1

+

1

2(a2+1)

+…

1

n(an+1)

＜

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

＜1（14分）

點評：本題考查二項式定理的應(yīng)用，考查等比數(shù)列的求和公式，正確運用組合知識是關(guān)鍵．