Question

已知圓C：（x-3）²+（y-3）²=9及圓外一點(diǎn)P（5，-1）．
（1）點(diǎn)A是圓C上任意一點(diǎn)，求PA的中點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）過(guò)P作直線l，若圓C上恰有三點(diǎn)到直線l的距離等于1，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）確定A，Q坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用代入法，可得PA的中點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）圓C上恰有三點(diǎn)到直線l的距離等于1，則圓心C到直線的距離為2，分類討論，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)Q（x，y），A（a，b），則a=2x-5，b=2y+1，
∵點(diǎn)A是圓C上任意一點(diǎn)，
∴（2x-5-3）²+（2y+1-3）²=9，即（2x-8）²+（2y-1）²=9；
（2）斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y+1=k（x-5），即kx-y-5k-1=0，
∵圓C上恰有三點(diǎn)到直線l的距離等于1，
∴圓心C到直線的距離為2，
∴2=

|-2k-4|

k2+1

，
∴k=-

3

4

，
∴直線l的方程為3x+4y-11=0．
斜率不存在時(shí)，直線方程為x=5也滿足題意．
綜上，直線l的方程為3x+4y-11=0或x=5．

點(diǎn)評(píng)：代入法是求軌跡方程常用的方法，關(guān)鍵是確定坐標(biāo)之間的關(guān)系．