【題目】已知M是直線l：x=﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，0），過(guò)M的直線l′與l垂直，并且l′與線段MF的垂直平分線相交于點(diǎn)N （Ⅰ）求點(diǎn)N的軌跡C的方程
（Ⅱ）設(shè)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），直線AP與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為B（B與A′不重合），直線P′H⊥A′B，垂足為H，是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得|QH|為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知：丨NM丨=丨NF丨，即曲線C為拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0）， 準(zhǔn)線方程為l：x=﹣1，
∴點(diǎn)N的軌跡C的方程y2=4x；

（Ⅱ）設(shè)A（ ，a），則A′（ ，﹣a），
直線AP的斜率kAP= = ，
直線AB的方程y= （x﹣2），
由 ，整理得：ay2﹣（a2﹣8）y﹣8a=0，
設(shè)B（x2 ， y2），則ay2=﹣8，則y2=﹣ ，x2= ，
則B（ ，﹣ ），
又A′（ ，﹣a），
∴A′B的方程為y+a=﹣ （x﹣ ），
令y=0，則x=﹣2，
直線A′B與x軸交于定點(diǎn)T（﹣2，0），
△PHT為直角三角形，并且丨OP丨=丨OT丨，
∴丨OH丨= 丨TP丨=2，
即存在點(diǎn)O（0，0），使得丨OH丨為定值2，則O即為點(diǎn)Q（0，0）．

【解析】（Ⅰ）由題意可知：丨NM丨=丨NF丨，即曲線C為拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），點(diǎn)N的軌跡C的方程y2=4x；（Ⅱ）設(shè)A（ ，a），則A′（ ，﹣a），直線AB的方程y= （x﹣2），代入拋物線方程，求得B的坐標(biāo)，A′B的方程為y+a=﹣ （x﹣ ），則令y=0，則x=﹣2，直線A′B與x軸交于定點(diǎn)T（﹣2，0），即可求得存在一個(gè)定點(diǎn)T（﹣2，0），使得T，A′，B三點(diǎn)共線，△PHT為直角三角形，并且丨OP丨=丨OT丨，丨OH丨= 丨TP丨=2，即存在點(diǎn)O（0，0），使得丨OH丨為定值2，則O即為點(diǎn)Q（0，0）．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】數(shù)列{an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，a2和 a5是方程x2﹣12x+27=0 的兩實(shí)數(shù)根，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足3n﹣1bn=nan+1﹣（n﹣1）an ．
（Ⅰ）求an與bn；
（Ⅱ）設(shè)Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求Tn ， 并求Tn＜7 時(shí)n的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓Γ： +y2=1（a＞1）的左焦點(diǎn)為F1 ， 右頂點(diǎn)為A1 ， 上頂點(diǎn)為B1 ， 過(guò)F1 ， A1 ， B1三點(diǎn)的圓P的圓心坐標(biāo)為（ ， ）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k，m為常數(shù)，k≠0）與橢圓Γ交于不同的兩點(diǎn)M和N．
（i）當(dāng)直線l過(guò)E（1，0），且 +2 = 時(shí)，求直線l的方程；
（ii）當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為 時(shí)，求△MON面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且a1=2，nan+1=2（n+1）an
（1）記bn= ，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn；
（2）求通項(xiàng)an及前n項(xiàng)和Sn ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在正三角形△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到A，B，C的距離都大于該三角形邊長(zhǎng)一半的概率為（ ）
A.1﹣
B.1﹣
C.1﹣
D.1﹣

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，M、N分別為雙曲線虛軸的上、下端點(diǎn)，A是雙曲線的右頂點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，直線AM與FN相交于點(diǎn)P，若∠APF是銳角，則此雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A.（ ，+∞）
B.（1+ ，+∞）
C.（0， ）
D.（ ，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若F1 ， F2是橢圓C： + =1（0＜m＜9）的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)P，滿(mǎn)足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF1相切于該線段的中點(diǎn)M． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)（0， ）的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)A、B，線段AB的中垂線l1交x軸于點(diǎn)N，R是線段AN的中點(diǎn)，求直線l1與直線BR的交點(diǎn)E的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓 上的動(dòng)點(diǎn)P與其頂點(diǎn) ， 不重合． （Ⅰ）求證：直線PA與PB的斜率乘積為定值；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M，N在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)OM∥PA，ON∥PB時(shí)，求△OMN的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.“x2+x﹣2＞0”是“x＞1”的充分不必要條件
B.“若am2＜bm2 ， 則a＜b”的逆否命題為真命題
C.命題“?x∈R，使得2x2﹣1＜0”的否定是“?x∈R，均有2x2﹣1＞0”
D.命題“若x= ，則tanx=1”的逆命題為真命題

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