Question

【題目】已知函數(shù)．

1若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

2若對任意的，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當時，以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；(當時，在單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減；（2） .

【解析】

1 求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；2求出的最大值，問題等價于，即，對恒成立，求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可篩選出符合題意的的范圍．

1由題意，

.

當時，，令得；，得，

所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；

(當時，，令得；

令，得或，所以，在單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減.

2令，，

當時，，單調(diào)遞增，則，

則對恒成立等價于，

即，對恒成立.

當時，，，，此時，

不合題意，舍去 .

當時，令，，

則，其中，，

令，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增.

當時，，所以對，，

則在上單調(diào)遞增，故對任意，，

即不等式在上恒成立，滿足題意

當時，由，及在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以存在唯一的使得，且時，．

從而時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則時，，即，不符合題意．

綜上所述，.