Question

7．近年來我國電子商務(wù)行業(yè)發(fā)展迅速，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品質(zhì)量和服務(wù)評價的評價體系，現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出某商家的200次成功交易，發(fā)現(xiàn)對商品質(zhì)量的好評率為0.6，對服務(wù)評價的好評率為0.75，其中對商品質(zhì)量和服務(wù)評價都做出好評的交易80次．
（1）是否可以在犯錯誤概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為商品質(zhì)量與服務(wù)好評有關(guān)？
（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進(jìn)行的5次購物中，設(shè)對商品質(zhì)量和服務(wù)評價全好評的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列（可用組合數(shù)公式表示）和數(shù)學(xué)期望．

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

參考公式：${k^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （1）由已知列出關(guān)于商品和服務(wù)評價的2×2列聯(lián)表，代入公式求得k²的值，對應(yīng)數(shù)表得答案；
（2）每次購物時，對商品和服務(wù)全好評的概率為0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．求出相應(yīng)的概率，可得對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)X的分布列；利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望，求X的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由題意可得關(guān)于商品質(zhì)量和服務(wù)評價的2×2列聯(lián)表．

	對服務(wù)好評	對服務(wù)不滿意	合計(jì)
商品質(zhì)量好評	80	40	120
商品質(zhì)量不滿意	70	10	80
合計(jì)	150	50	200

…（4分）
所以${K^2}=\frac{{200×{{（80×10-40×70）}^2}}}{150×50×120×80}=\frac{100}{9}＞10.828$，
所以，在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為商品質(zhì)量與服務(wù)好評有關(guān)．…（6分）
（2）每次購物時，對商品和服務(wù)都好評的概率為$\frac{2}{5}$，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5．
其中$P（X=0）={（{\frac{3}{5}}）^5}$；$P（X=1）=C_5^1（{\frac{2}{5}}）{（{\frac{3}{5}}）^4}$；$P（X=2）=C_5^2{（{\frac{2}{5}}）^2}{（{\frac{3}{5}}）^3}$；$P（X=3）=C_5^3{（{\frac{2}{5}}）^3}{（{\frac{3}{5}}）^2}$；$P（X=4）=C_5^4{（{\frac{2}{5}}）^4}{（{\frac{3}{5}}）^1}$；$P（X=5）={（{\frac{2}{5}}）^5}$．…（10分）
所以X的分布列為

X	0	1	2	3	4	5
P	${（{\frac{3}{5}}）^5}$	$C_5^1（{\frac{2}{5}}）{（{\frac{3}{5}}）^4}$	$C_5^2{（{\frac{2}{5}}）^2}{（{\frac{3}{5}}）^3}$	$C_5^3{（{\frac{2}{5}}）^3}{（{\frac{3}{5}}）^2}$	$C_5^4{（{\frac{2}{5}}）^4}{（{\frac{3}{5}}）^1}$	${（{\frac{2}{5}}）^5}$

由于X～B（5，$\frac{2}{5}$），所以$EX=5×\frac{2}{5}=2$．…（12分）

點(diǎn)評 本小題主要考查統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識，對考生的對數(shù)據(jù)處理的能力有很高要求，是中檔題．