Question

已知函數(shù)f（x）=2ln（2x）+x²．
（I）若函數(shù)g（x）=f（x）+ax在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（II）設h（x）=2f（x）-3x²-kx（k∈R），若h（x）存在兩個零點m，n且2x₀=m+n，證明：函數(shù)h（x）在（x₀，h（x₀））處的切線不可能平行于x軸．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵g（x）=ln（2x）+x²+ax，．
由已知，得g'（x）≥0對一切x∈（0，+∞）恒成立．
∴，即對一切x∈（0，+∞）恒成立．
∵，∴．
∴a的取值范圍為． …（5分）
（Ⅱ）h（x）=2[ln（2x）+x²]-3x²-kx=2ln（2x）-x²-kx．
由已知得h（m）=2ln（2m）-m²-km=0，h（n）=2ln（2n）-n²-kn=0．
∴，即．
假設結論不成立，即h'（x₀）=0，則，
∴．
又2x₀=m+n，
∴==．
∴．
令，則有．
令．
∴=．
∴γ（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當t＞1時，γ（t）＞γ（1）=0，即．
∴當t＞1時，不可能成立，
∴假設不成立．
∴h（x）在（x₀，h（x₀））處的切線不平行于x軸． …（14分）
分析：（I）先將g（x）在（0，+∞）上遞增，轉化成g′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，最后根據(jù)分式函數(shù)的圖象與性質可求出實數(shù)a的取值范圍；
（II）對于存在性問題，可先假設存在，即假設h（x）在（x₀，h（x₀））處的切線可能平行于x軸，再利用導數(shù)研究函數(shù)在（1，+∞）上單調遞增，最后出現(xiàn)矛盾，說明假設不成立，即切線不能否平行于x軸．
點評：此題是個難題．本題主要考查用導數(shù)法研究函數(shù)的單調性，基本思路是：當函數(shù)為增函數(shù)時，導數(shù)大于等于零；當函數(shù)為減函數(shù)時，導數(shù)小于等于零，根據(jù)解題要求選擇是否分離變量，體現(xiàn)了轉化的思想和分類討論以及數(shù)形結合的思想方法，同時考查了學生的靈活應用知識分析解決問題的能力和計算能力．