【題目】已知函數,設為曲線在點處的切線,其中.
(Ⅰ)求直線的方程(用表示);
(Ⅱ)求直線在軸上的截距的取值范圍;
(Ⅲ)設直線分別與曲線和射線()交于, 兩點,求的最小值及此時的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) ;(Ⅲ), .
【解析】試題分析:(Ⅰ) 對求導數,由此得切線的方程為: .
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,直線在軸上的截距為.設新的函數, 求導,求最值即可.
(Ⅲ)過作軸的垂線,與射線交于點,得到△是等腰直角三角形, .設 , 求最值即可.
試題解析:
(Ⅰ) 對求導數,得, 所以切線的斜率為,由此得切線的方程為: , 即 .
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得,直線在軸上的截距為.
設 , .所以 ,令,得.
, 的變化情況如下表:
↘ | ↘ |
所以函數在上單調遞減,所以, ,
所以直線在軸上的截距的取值范圍是.
(Ⅲ)過作軸的垂線,與射線交于點,
所以△是等腰直角三角形.所以 .
設 , ,
所以 .
令 ,則,
所以 在上單調遞增,
所以 ,
從而 在上單調遞增,所以 ,此時, .
所以 的最小值為,此時.
點晴:本題主要考查導數與切線,導數與最值問題. 解答此類問題,應該首先確定函數的定義域,第二問中利用導數把直線在軸上的截距為.設新的函數, 求導,求最值即可;第三問中借助幾何關系.得到 , 求最值即可.
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【題目】已知拋物線: ,定點(常數)的直線與曲線相交于、兩點.
(1)若點的坐標為,求證:
(2)若,以為直徑的圓的位置是否恒過一定點?若存在,求出這個定點,若不存在,請說明理由.
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【題目】三個臭皮匠頂上一個諸葛亮,能頂得上嗎?在一次有關“三國演義”的知識競賽中,三個臭皮匠A、B、C能答對題目的概率分別為P(A)=,P(B)=,P(C)=,諸葛亮D能答對題目的概率為P(D)=,如果將三個臭皮匠A、B、C組成一組與諸葛亮D比賽,答對題目多者為勝方,問哪方勝?
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【題目】已知函數,現提供的大致圖象的8個選項:
(1)請你作出選擇,你選的是( );
(2)對于函數圖像的判斷,往往只需了解函數的基本性質.為了驗證你的選擇的正確性,請你解決
下列問題:
①的定義域是___________________;
②就奇偶性而言, 是______________________ ;
③當時, 的符號為正還是負?并證明你的結論.
(解決了上述三個問題,你要調整你的選項,還來得及.)
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形, 底面, ,過點的平面與棱, , 分別交于點, , (, , 三點均不在棱的端點處).
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若平面,求的值;
(Ⅲ)直線是否可能與平面平行?證明你的結論.
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