Question

已知函數f(x)=1+2sin(2ωx+

π

6

)（其中0＜ω＜1），若直線x=

π

3

是函數f（x）圖象的一條對稱軸．
（1）求ω及最小正周期；             
（2）求函數f（x），x∈[-π，π]的單調減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據對稱性求得ω的值，從而得到函數的解析式，由此求得它的周期．
（2）令

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，求得x的范圍，即可得到函數的單調減區(qū)間．

解答：解：（1）由題可知：2ω•

π

3

+

π

6

=kπ+

π

2

(k∈z)，故有ω=

1

2

+

3

2

k．
又∵0＜ω＜1，∴ω=

1

2

．…（3分）
∴

f(x)=1+2sin(x+ π 6 )

，由此可得函數的周期為 T=2π．…（5分）
（2）令

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，可得

π

3

+2kπ≤x≤

4π

3

+2kπ，k∈z，…（7分）
設A=[

π

3

+2kπ，

4π

3

+2kπ]，B=[-π，π]，則A∩B=[-π，-

2π

3

]∪[

π

3

，π]，…（9分）
故函數f（x）在[-π，π]的單調減區(qū)間為[-π，-

2π

3

]和[

π

3

，π]．…（10分）

點評：本題主要考查函數y=Asin（ωx+∅）的對稱性、周期性及求法，求函數y=Asin（ωx+∅）單調區(qū)間，屬于中檔題．