Question

如圖，已知A、B、C是長軸為4的橢圓上的三點，點A是長軸的右頂點，BC過橢圓中心O，且

AC

•

BC

=0，|

BC

|=2|

AC

|，
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若過C關(guān)于y軸對稱的點D作橢圓的切線DE，則AB與DE有什么位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）設(shè)所求橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)，由橢圓的對稱性知，|OC|=|OB|，由

AC

•

BC

=0，AC⊥BC．|BC|=2|AC|，|OC|=|AC|，知△AOC是等腰直角三角形，由此能夠求出橢圓方程．
（2）設(shè)所求切線方程為y-1=k（x+1），由

y=kx+k+1 x2 4 + 3y2 4 =1

，消去x，(1+3k2)x2+6k(k+1)x+3(k+1)2-4=0，由判別式等于0，能判斷AB與DE平行．

解答：解：（1）A（2，0），
設(shè)所求橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)，…（2分）
由橢圓的對稱性知，
|OC|=|OB|，
由

AC

•

BC

=0，AC⊥BC．
∵|BC|=2|AC|，
∴|OC|=|AC|，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴C是坐標為（1，1）．…（4分）
∵C點在橢圓上，
∴

12

4

+

1

b2

=1，
∴b2=

4

3

．
所求的橢圓方程為

x2

4

+

3y2

4

=1．…（8分）
（2）AB與DE是平行關(guān)系…（10分）
D（-1，1），
設(shè)所求切線方程為y-1=k（x+1），

y=kx+k+1 x2 4 + 3y2 4 =1

，消去x，(1+3k2)x2+6k(k+1)x+3(k+1)2-4=0…（12分）
上述方程中判別式△=9k2-6k+1=0，k=

1

3

又kAB=

1

3

，
所以AB與DE平行…（14分）

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．易錯點是綜合性強，難度大，容易出錯．