Question

f（x）=3^x+2，f（a+2）=162，h（x）=λ•3^ax-4^x在區(qū)間[0，1]上是單調減函數，則λ范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由條件求得3^a=2，可得h（x）=λ•2^x-4^x．令2^x=t，可得t∈[1，2]，h（x）=m（t）=-t²+λt，根據二次函數m（t）的圖象的對稱軸方程為t=

λ

2

，且m（t）在[1，2]上單調遞減，可得

λ

2

≤1，由此求得λ范圍．

解答： 解：∵f（x）=3^x+2，f（a+2）=3^a+4=162，∴3^a=2，∴h（x）=λ•3^ax-4^x=λ•2^x-4^x．
令2^x=t，由x∈[0，1]，可得t∈[1，2]，h（x）=m（t）=-t²+λt，
顯然二次函數m（t）的圖象的對稱軸方程為t=

λ

2

，且m（t）在[1，2]上單調遞減，∴

λ

2

≤1，
求得λ≤2，
故答案為：（-∞，2]．

點評：本題主要考查復合函數的單調性，指數函數、二次函數的性質，體現(xiàn)了轉化的數學思想，屬于基礎題．