（2013•徐州一模）如圖，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點，且
AE
=m
AB
，
AF
=n
AC
，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中點分別為M，N，且m+4n=1，則|
MN
|的最小值為
7
7
7
7
．
分析：由等腰△ABC中，AB=AC=1且A=120°，算出
AB
•
AC
=-
1
2
．連接AM、AN，利用三角形中線的性質，得到
AM
=
1
2
（
AE
+
AF
）且
AN
=
1
2
（
AB
+
AC
），進而得到
MN
=
AN
-
AM
=
1
2
（1-m）
AB
+
1
2
（1-n）
AC
．將此式平方，代入題中數(shù)據(jù)化簡可得
MN
2=
1
4
（1-m）2-
1
4
（1-m）（1-n）+
1
4
（1-n）2，結合m+4n=1消去m，得
MN
2=
21
4
n2-
3
2
n+
1
4
，結合二次函數(shù)的性質可得當n=
1
7
時，
MN
2的最小值為
1
7
，所以|
MN
|的最小值為
7
7
．
解答：解：連接AM、AN，
∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，
∴
AB
•
AC
=|
AB
|•|
AC
|cos120°=-
1
2

∵AM是△AEF的中線，
∴
AM
=
1
2
（
AE
+
AF
）=
1
2
（m
AB
+n
AC
）
同理，可得
AN
=
1
2
（
AB
+
AC
），
由此可得
MN
=
AN
-
AM
=
1
2
（1-m）
AB
+
1
2
（1-n）
AC

∴
MN
2=[
1
2
（1-m）
AB
+
1
2
（1-n）
AC
]2=
1
4
（1-m）2+
1
2
（1-m）（1-n）
AB
•
AC
+
1
4
（1-n）2
=
1
4
（1-m）2-
1
4
（1-m）（1-n）+
1
4
（1-n）2，
∵m+4n=1，可得1-m=4n
∴代入上式得
MN
2=
1
4
×（4n）2-
1
4
×4n（1-n）+
1
4
（1-n）2=
21
4
n2-
3
2
n+
1
4

∵m，n∈（0，1），
∴當n=
1
7
時，
MN
2的最小值為
1
7
，此時|
MN
|的最小值為
7
7
．
故答案為：
7
7
點評：本題給出含有120度等腰三角形中的向量，求向量
MN
模的最小值，著重考查了平面向量數(shù)量積公式及其運算性質和二次函數(shù)的最值求法等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•徐州一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2，且過點(
2
，
6
2
)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點A，B分別是橢圓E的左、右頂點，直線l經(jīng)過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M．
（�。┰O直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值；
（ⅱ）設過點M垂直于PB的直線為m．求證：直線m過定點，并求出定點的坐標．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•徐州一模）已知函數(shù)f（x）=ax+x2-xlna（a＞0，a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）單調增區(qū)間；
（3）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1（e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•徐州一模）如圖，兩座建筑物AB，CD的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是9m和15m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角∠CAD=45°．
（1）求BC的長度；
（2）在線段BC上取一點P（點P與點B，C不重合），從點P看這兩座建筑物的張角分別為∠APB=α，∠DPC=β，問點P在何處時，α+β最小？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•徐州一模）一個社會調查機構就某地居民的月收入調查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)要從這10000人中再用分層抽樣的方法抽出100人作進一步調查，則月收入在[2500，3000）（元）內應抽出
25
25
人．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•徐州一模）選修：4-2：矩陣與變換
若圓C：x2+y2=1在矩陣A=
a，0
0，b
（a＞0，b＞0）對應的變換下變成橢圓E：
x2
4
+
y2
3
=1，求矩陣A的逆矩陣A-1．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案