Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d為奇函數(shù)，且在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為9x-y-16=0．
（1）求f（x）的解析式；（2）若y=f（x）+m的圖象與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，∴b=d=0，∴f（x）=ax³+cx∵f（x）過點(diǎn)（2，2），f'（x）=3ax²+c，
∴，
∴a=1，c=-3
∴f（x）=x³-3x（6分）
（2）設(shè)g（x）=f（x）+m，即g（x）=x³-3x+m，g'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
當(dāng)x變化時(shí)，g'（x）變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以g'（x）的極大值2+m，極小值-2+m
要y=f（x）+m與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，只需-2+m＞0或2+m＜0
故當(dāng)m∈（-∞，-2）∪（2，+∞）時(shí)，y=f（x）+m與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（13分）．
分析：（1）由題意可知f（x）為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義求得b，d．再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義知在x=2處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，切點(diǎn)在函數(shù)f（x）的圖象上，建立方程組，解之即可求出函數(shù)f（x）的解析式．
（2）將題中條件：“y=f（x）+m的圖象與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)”等價(jià)于“g（x）=x³-3x+m的其圖象和x軸只有一個(gè)交點(diǎn)”，利用導(dǎo)數(shù)求得原函數(shù)的極值，最后要使g（x）=x³-3x+m的其圖象和x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，得到關(guān)于m的不等關(guān)系，從而求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化思想．