Question

已知函數(shù)R），g（x）=lnx．
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的導(dǎo)函數(shù)，分情況求出導(dǎo)數(shù)為0的根進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（注意是在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間）；
（2）先把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；再利用導(dǎo)函數(shù)分別求出等號(hào)兩端的極值，在下面畫(huà)出草圖，結(jié)合草圖即可求出結(jié)論．
解答：（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．
∴=．
①當(dāng)△=1+4a≤0，即時(shí)，得x²+x-a≥0，則F′（x）≥0．
∴函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（2分）
②當(dāng)△=1+4a＞0，即時(shí)，令F′（x）=0，得x²+x-a=0，
解得．
（ⅰ）若，則．
∵x∈（0，+∞），∴F′（x）＞0，
∴函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（4分）
（ⅱ）若a＞0，則時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0；時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，
∴函數(shù)F（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，
單調(diào)遞增區(qū)間為．（8分）
（2）解：由，得，化為．
令，則．
令h′（x）=0，得x=e．
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，h′（x）＜0．
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，e）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（e，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)h（x）取得最大值，其值為．（10分）
而函數(shù)m（x）=x²-2ex+a=（x-e）²+a-e²，
當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)m（x）取得最小值，其值為m（e）=a-e²．（12分）
∴當(dāng)，即時(shí)，方程只有一個(gè)根．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題第一問(wèn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問(wèn)題，是函數(shù)這一章最基本的知識(shí)，也是．教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．