Question

設(shè)橢圓C₁：的一個頂點(diǎn)與拋物線C₂：的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率，過橢圓右焦點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（I）拋物線C：的焦點(diǎn)為（0，）
∵橢圓C₁：的一個頂點(diǎn)與拋物線C₂：的焦點(diǎn)重合
∴橢圓的一個頂點(diǎn)為（0，），即b=
∵e===，∴a=，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（Ⅱ）由題可知，橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），直線l與橢圓必相交．
①當(dāng)直線斜率不存在時，M（1，），N（1，-），∴，不合題意．
②設(shè)存在直線l為y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
將直線方程代入橢圓方程可得：（2+3k²）x²-6k²x+4k²-6=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
∴=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=+k²（-+1）==-1
∴k=±，
故直線l的方程為y=（x-1）或y=-（x-1）．
分析：（I）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)確定橢圓的頂點(diǎn)，結(jié)合離心率，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）由題可知，橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），直線l與橢圓必相交．分兩種情況討論：①當(dāng)直線斜率不存在時，經(jīng)檢驗不合題意；②設(shè)存在直線l為y=k（x-1）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量條件，即可求得直線l的方程．
點(diǎn)評：本題重查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，解題時要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．