Question

（1）已知命題p：方程x²-（2+a）x+2a=0在[-1，1]上有且僅有一解；命題q：存在實數(shù)x使不等式
x²+2ax+2a≤0成立．若命題“p∧q”是真命題，求a的取值范圍．
（2）已知兩個關(guān)于x的一元二次方程mx²-4x+4=0和x²-4mx+4m²-4m-5=0，求兩方程的根都是整數(shù)的充要條件．

Answer 1

考點：復合命題的真假,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：（1）由x²-（2+a）x+2a=0可得得x=2或x=a，結(jié)合題意可得-1≤a≤1．又△=4a²-8a≥0可得得a≤0或a≥2，取交集可得；（2）可得m≠0．兩方程都要有實根，△₁=16-16m≥0且△₂=16m²-4（4m²-4m-5）≥0，可得m∈[-

5

4

，1]，又

4

m

∈Z，4m∈Z，4m2-4m-5∈Z．∴m為4的約數(shù)，可得m=-1或1，驗證可得．

解答： 解：（1）由x²-（2+a）x+2a=0，得（x-2）（x-a）=0，解得x=2或x=a．
又方程x²-（2+a）x+2a=0在[-1，1]上有且僅有一解，∴-1≤a≤1．
∵存在實數(shù)x滿足不等式x²+2ax+2a≤0，
∴△=4a²-8a≥0，解得a≤0或a≥2．
又∵命題“p∧q”是真命題，∴命題p和命題q都是真命題．
∴a的取值范圍為{a|-1≤a≤0}．
（2）∵mx²-4x+4=0是一元二次方程，∴m≠0．
又另一方程為x²-4mx+4m²-4m-5=0，且兩方程都要有實根，
∴△₁=16-16m≥0且△₂=16m²-4（4m²-4m-5）≥0
解得m∈[-

5

4

，1]
∵兩方程的根都是整數(shù)，故其根的和與積也為整數(shù)，
∴

4

m

∈Z，4m∈Z，4m2-4m-5∈Z．∴m為4的約數(shù)．
又∵m∈[-

5

4

，1]，∴m=-1或1．
當m=-1時，第一個方程x²+4x-4=0的根為非整數(shù)；
而當m=1時，兩方程的根均為整數(shù)，
∴兩方程的根均為整數(shù)的充要條件是m=1．

點評：本題考查復合命題的真假，涉及韋達定理和分類討論的思想，屬中檔題．