已知函數(shù)f(x)=
1-xmx
+
1nx,且m>0.
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),求m的取值范圍;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在[1,e]的最大值和最小值.
分析:(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),利用函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),可得f'(x)≥0在[1+∞)上恒成立,分離參數(shù),即可求得m的取值范圍;
(Ⅱ)求導(dǎo)函數(shù),再分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,從而可確定函數(shù)f(x)在[1,e]的最大值和最小值.
解答:解:(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),可得f′(x)=-
1
mx2
+
1
x
=
mx-1
mx2
(m>0).        …(1分)
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),所以f'(x)≥0在[1+∞)上恒成立,
所以mx-1≥0在[1,+∞)上恒成立,
所以m≥
1
x
在[1,+∞)
上恒成立.
所以m的取值范圍是[1,+∞).                        …(3分)
(Ⅱ)令f′(x)=0,∴x=
1
m
(m>0).                …(4分)
①若
1
m
<1,即m>1,則x∈[1,e]時(shí),有f'(x)>0,所以f(x)在[1,e]上遞增,
所以f(x)的最大值是f(e)=
1-e+me
me
;f(x)
的最小值是f(1)=0…(6分)
②若1≤
1
m
<e,即
1
e
<m≤1,則x∈(1,
1
m
)
時(shí),f′(x)<0,所以f(x)在(1,
1
m
)
上遞減;x∈(
1
m
,e)
時(shí),f′(x)>0,所以f(x)在(
1
m
,e)
上遞增.
所以f(x)的最小值是f(
1
m
)=
m-1
m
-lnm

f(1)=0,f(e)=
1-e+me
me
,
所以當(dāng)1-e+me>0,即1-
1
e
<m≤1時(shí),有f(e)>f(1),所以f(x)的最大值是f(e)=
1-e+me
me
;
當(dāng)1-e+me≤0,即
1
e
<m≤1-
1
e
時(shí),有f(e)≤f(1),
所以f(x)的最大值是f(1)=0.                  …(9分)
③若
1
m
≥e
,即0<m≤
1
e
,則x∈[1,e]時(shí),有f'(x)<0,
所以f(x)在[1,e]上遞增,
所以f(x)的最大值是f(1)=0;f(x)的最小值是f(e)=
1-e+me
me
.…(11分)
所以f(x)的最大值是
1-e+me
me
,m>1-
1
e
0,0<m≤1-
1
e
,f(x)的最小值是
0,m>1
m-1
m
-1nm,
1
e
<m≤1
1-e+me
me
,0<m≤
1
e
…(12分)
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查恒成立問題,考查函數(shù)的最值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,正確求導(dǎo),確定分類標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個(gè)函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時(shí)滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn);
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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