Question

14．如圖在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=AC=2$\sqrt{2}$，BC=BB₁=4，D、E分別為BC，BB₁的中點．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面AC₁D；
（Ⅱ）求直線AB與平面AC₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得，四邊形CBB₁C₁為正方形，又D、E分別為BC，BB₁的中點，得CE⊥C₁D，再由已知可得AD⊥CE，結合線面垂直的判定得答案；
（Ⅱ）由D是BC的中點，可得B，C到平面AC₁D的距離相等，由（Ⅰ）知，CE⊥平面AC₁D，由射影定理可得C到平面AC₁D的距離，從而得到B到平面AC₁D的距離，而AB=2$\sqrt{2}$．可得直線AB與平面AC₁D所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：由已知可得，四邊形CBB₁C₁為正方形，又D、E分別為BC，BB₁的中點，
∴CE⊥C₁D，
∵AB=AC，D為BC中點，∴AD⊥BC，則AD⊥平面CBB₁C₁，則AD⊥CE．
又C₁D∩AD=D，∴CE⊥平面AC₁D；
（Ⅱ）解：∵D是BC的中點，∴B，C到平面AC₁D的距離相等，
由（Ⅰ）知，CE⊥平面AC₁D，設垂足為M，在Rt△C₁CD中，由射影定理可得$CM=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴B到平面AC₁D的距離為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，而AB=2$\sqrt{2}$．
∴直線AB與平面AC₁D所成角的正弦值為$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查了線面角的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．