Question

已知二次函數(shù)，f（x）=x²+ax（a∈R）．
（1）若函數(shù)的最大值為，求f（x）的最小值；
（2）當a=2時，設(shè)n∈N*，，求證：＜S＜2；
（3）當a＞2時，求證f（sin²xlog2sin²x+cos²xlog2cos²x）≧1-a，其中x∈R，x≠kπ且x≠kπ+（k∈z）

Answer 1

【答案】分析：（1）利用輔助角公式，我們可以確定函數(shù)的解析式，進而利用換無法，可將問題轉(zhuǎn)化了一個二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，進而得到答案．
（2）由（1）中函數(shù)的解析式，利用數(shù)列求和的辦法可以現(xiàn)S，再根據(jù)S的單調(diào)性，即可得到答案．
（3）由x∈R，x≠kπ且x≠kπ+，利用換元法我們可以將不等與左邊對應(yīng)的函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（t）=tlog₂t+（1-t）log₂（1-t），進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷出其最值，并將問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)恒成立問題，最后得到結(jié)論．
解答：解：（1）令，∵x∈R，∴-2≤t≤2，，
當a＜0時，t=2時，，解得：，
此時，，∴．
當a≥0時，t=2時，，解得：
此時，，∴
綜合上述，條件滿足時，f（x）的最小值為（5分）
（2）∵=
設(shè)；
則
∴S（n）在n∈N^*時單調(diào)遞增，∴
又∴∴綜上有：成立．（5分）
（3））∵x∈R，x≠kπ且，∴sin²x，cos²x∈（0，1），
又sin²x+cos²x=1，故設(shè)t=sin²x，則有cos²x=1-t
設(shè)f（t）=tlog₂t+（1-t）log₂（1-t）（其中t∈（0，1））
令f'（t）=0，得
當時，f'（t）＜0，所以f（t）在（0，）單調(diào)遞減，
當時，f'（t）＞0，所以f（t）在（，1）單調(diào)遞增，
∴時f（t）取最小值等于
即有sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x≥-1
當日a＞2時，f（x）=x²+ax的對稱軸，
∴f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x）≥f（-1）=1-a（5分）
點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，不等式的綜合，三角函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．