Question

如圖在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，E是BB₁的中點，且CE交BC₁于點P，點Q在線段BC上，CQ=2QB．
（1）證明：CC₁∥平面A₁PQ；
（2）若直線BC⊥平面A₁PQ，求直線A₁Q與平面BCC₁B₁所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）利用直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△BEP≌△C₁CP，E是BB₁的中點，可得PQ∥EB∥C₁C，利用線面平行的判定定理，即可證明CC₁∥平面A₁PQ；
（2）延長QP與C₁B相交于點H，連接A₁H，A₁Q，證明直線A₁Q與平面BCC₁B₁所成角為∠A₁QH，即可求得結(jié)論．

解答： （1）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△BEP≌△C₁CP，E是BB₁的中點，
∴

CP

PE

=

2

1

=

CQ

BQ

，
∴PQ∥EB∥C₁C，
∵CC₁?平面A₁PQ，PQ?平面A₁PQ，
∴CC₁∥平面A₁PQ；
（2）解：由（1）知，PQ∥C₁C，
∴PQ∥AA₁，
∴BC⊥平面A₁PQA，
∴BC⊥AQ．
∵∠BAC=90°，CQ=2QB，
∴AC=2

2

，AQ-

2 6

3

．
延長QP與C₁B相交于點H，連接A₁H，A₁Q，則
∵CC₁⊥AQ，∴AQ⊥平面BCC₁B₁，
∵PQ∥AA₁，HQ∥AA₁，
∴四邊形A₁AHQ是平行四邊形，
∴A₁H∥AQ，
∴A₁H⊥平面BCC₁B₁，
∴直線A₁Q與平面BCC₁B₁所成角為∠A₁QH，
∴cos∠A₁QH=

QH

A1Q

=

QH

AQ2+AA12

=

15

5

．

點評：本題考查線面平行，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，正確運用線面平行的判定定理是關鍵．