Question

如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°．
（Ⅰ）設(shè)M是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問當(dāng)

BM

BD

的值為多少時(shí)，可使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論．
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)M（t，t，0）．通過AM∥平面BEF，求出點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，2，0），即可得到

BM

BD

的值．
（Ⅱ）求出平面BDE的法向量

CA

=（3，-3，0）和平面BEF的法向量

m

，利用向量法能求出二面角F-BE-D的余弦值．

解答：解：（Ⅰ） 當(dāng)

BM

BD

=

1

3

時(shí)，可使得AM∥平面BEF．
證明過程如下：
因?yàn)镈E⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC．因?yàn)锳BCD是正方形，
所以AC⊥BD，從而AC⊥平面BDE．
所以DA，DC，DE兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE分
別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示．
因?yàn)锽E與平面ABCD所成角為60°，即∠DBE=60°，
所以

ED

DB

=tan60°=

3

．
由AD=2可知DE=3

6

，AF=

6

．
則A（3，0，0），F(xiàn)（3，0，

6

），E（0，0，3

6

），
B（3，3，0），C（0，3，0），
所以

BF

=（0，-3，

6

），

EF

=（3，0，-2

6

），（8分）
設(shè)平面BEF的法向量為

m

=（x，y，z），則

m

•

BF

=0，

m

•

EF

=0，
∴

-3y+ 6 z=0 3x-2 6 z=0

，解得

m

=（4，2，

6

）．
點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)M（t，t，0）．則

AM

=（t-3，t，0），
因?yàn)锳M∥平面BEF，所以

AM

•

m

=0，即4（t-3）+2t=0，解得t=2．
此時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，2，0），

BM

BD

=

1

3

符合題意．
（Ⅱ）因?yàn)锳C⊥平面BDE，所以

CA

為平面BDE的法向量，
∵

CA

=（3，-3，0），平面BEF的法向量

m

=（4，2，

6

）．
所以cos＜

m

，

CA

＞=

12-6+0

26 • 18

=

13

13

．
因?yàn)槎�面角為銳角，
所以二面角F-BE-D的余弦值為

13

13

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意空間向量與空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用．