設復數(shù)z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），ω=
1-(
.
z
)4
1+z4
，并且|ω|=
3
3
，argω＜
π
2
，求θ．
分析：化簡ω，利用|ω|=
3
3
，求出θ的三角函數(shù)值，再用argω＜
π
2
，來驗證ω，從而求出θ的值．
解答：解法一ω=
1-[cos(-θ)+isin(-θ)]4
1+[cosθ+isinθ]4
=
1-cos(-4θ)-isin(-4θ)
1+cos4θ+isin4θ
=
2sin22θ+2isin2θcos2θ
2cos22θ+2isin2θcos2θ
=tg2θ（sin4θ+icos4θ）．|ω|=|tg2θ|•|sin4θ+icos4θ|=|tg2θ|=
3
3
，tg2θ=±
3
3
．
因0＜θ＜π，故有
（�。┊�tg2θ=
3
3
時，得θ=
π
12
或θ=
7π
12
，這時都有ω=
3
3
(cos
π
6
+isin
π
6
)，
得argω=
π
6
＜
π
2
，適合題意．
（ⅱ）當tg2θ=-
3
3
時，得θ=
5π
12
或θ=
11π
12
，這時都有ω=
3
3
(cos
11π
6
+isin
11π
6
)，
得argω=
11π
6
＞
π
2
，不適合題意，舍去．
綜合（�。�、（ⅱ）知θ=
π
12
或θ=
7π
12
．
解法二z4=cos4θ+isin4θ．
記φ=4θ，得(
.
z
)4=
.
(z4)
=cos?-isin?．ω=
1-cos?+isin?
1+cos?+isin?
．=
sin?
1+cos?
(sin?+icos?)=tg
?
2
(sin?+icos?)．∵|ω|=
3
3
，argω＜
π
2
，
①②③
∴
|tg
?
2
|=
3
3
tg
?
2
•sin?＞0
tg
?
2
•cos?≥0

當①成立時，②恒成立，所以θ應滿足
（�。�
0＜θ＜π
tg2θ=
3
3
cos4θ≥0
，或（ⅱ）
0＜θ＜π
tg2θ=-
3
3
cos4θ≤0
，
解（�。┑�θ=
π
12
或θ=
7π
12
．（ⅱ）無解．
綜合（ⅰ）、（ⅱ）θ=
π
12
或θ=
7π
12
．
點評：本題考查復數(shù)的基本概念和運算，三角函數(shù)式的恒等變形及綜合解題能力；注意分類討論思想的應用，難度較大．
練習冊系列答案
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A、
2
+1
B、
5
C、2
D、
2

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．

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