Question

（2013•青島一模）已知函數f（x）=2^x-1，對于滿足0＜x₁＜x₂的任意x₁，x₂，給出下列結論：
（1）（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0    
（2）x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）
（3）f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁           
（4）

f(x1)+f(x2)

2

＞f（

x1+x2

2

）
其中正確結論的序號是（　　）

A．（1）（2）

B．（1）（3）

C．（2）（4）

D．（3）（4）

Answer 1

分析：本題要借助指數函數的圖象與性質來研究，對四個命題的形式加以變化變成規(guī)范的形式，利用相關的性質判斷即可．
對于選項（1）由于）（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0 等價于

f( x 2)-f( x 1)

x 2-x 1

＜0故可借助函數的圖象的單調性得出結論
對于選項（2）由于x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）等價于

f( x 2)

x 2

＞

f( x 1)

x 1

，可借助函數圖象上點的幾何意義得出結論
對于選項（3）由于f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁?

f( x 2)-f( x 1)

x 2-x 1

＞1，故可借助函數的圖象上點的切線斜率變化規(guī)律得出結論
對于選項（4）

f(x1)+f(x2)

2

＞f（

x1+x2

2

）說明函數是一個凹函數，以此由函數圖象即可得出結論．

解答：解（1）∵f（x）=2^x-1為R上的單調增函數，故滿足0＜x₁＜x₂的任意x₁，x₂，總有f（x₁）＜f（x₂），即f（x₂）-f（x₁）＞0，∴（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＞0，故（1）錯誤；
（2）設y=

f(x)

x

=

2x-1

x

=

f(x)-0

x-0

，其幾何意義為f（x）圖象上的點與原點連線斜率，由函數f（x）=2^x-1在（0，+∞）上的圖象可知y=

f(x)

x

為增函數，∵0＜x₁＜x₂，
∴

f(x 1)

x 1

＜

f(x 2)

x 2

，即x₂f（x₁）＜x₁f（x₂），（2）正確；
（3）∵函數f′（x）=2^xln2，由x＞0，∴2^xln2∈（ln2，+∞），即存在x₀，使f′（x₀）＜1，而f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁?

f( x 2)-f( x 1)

x 2-x 1

＞1?函數f（x）在所給的區(qū)間上導數值恒大于1，∴（3）錯誤；
（4）

f(x1)+f(x2)

2

＞f（

x1+x2

2

）反映函數f（x）為凹函數，由f（x）=2^x-1的圖象可知此函數在（0，+∞）上確為凹函數，（4）正確
故正確結論的序號是：（2）、（4）
故選 C

點評：本題考查指數函數的圖象，以及指數函數的單調性、凸凹性、變化率等性質的抽象表達，數形結合解決問題的思想方法