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已知四棱椎S-ABCD中,底面是邊長為2的正方形,每條側棱長都是2
2
,P是側棱SD上的點.
(1)求證:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大。
分析:(I)連接BD交AC于點O,連接SO,根據等腰△ACS中,SO是底邊的中線,可得AC⊥SO,結合正方形ABCD中AC⊥BD,證出AC⊥平面SBD,從而得到AC⊥SD;
(II)連結OP,由(Ⅰ)知AC⊥平面SBD,可得AC⊥OP且AC⊥OD,因此∠POD是二面角P-AC-D的平面角.Rt△SDO中,利用余弦算出∠SDO=60°,從而得到Rt△POD中∠POD=30°,即得二面角P-AC-D的大小.
解答:解:(I)連接BD交AC于點O,連接SO
∵△ACS中,SA=SC=2
2
,O是AC中點,∴AC⊥SO
又∵正方形ABCD中,AC⊥BD,SO∩BD=O
∴AC⊥平面SBD,
∵SD?平面SBD,∴AC⊥SD;
(Ⅱ)∵正方形ABCD邊長為2,SD=2
2

∴OD=
2
2
×2=
2
,
可得Rt△SDO中,cos∠SDO=
OD
SD
=
1
2
,得∠SDO=60°,
連結OP,由(Ⅰ)知AC⊥平面SBD,
∴AC⊥OP,且AC⊥OD,
所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角.
∵SD⊥平面PAC,可得SD⊥OP,
∴Rt△POD中,∠POD=90°-∠SDO=30°,即二面角P-AC-D的大小為30°.
點評:本題給出側棱長為底面邊長的
2
倍的正四棱錐,求證線線垂直并求垂直于側棱的平面與底面所成的求二面角的大小,著重考查了空間線面垂直的判定與性質、二面角大小的求法和正棱錐的性質等知識,屬于中檔題.
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