分析 (Ⅰ)取BD中點(diǎn)O,連接OC,OA,由題意可證OC、OD、OA兩兩互相垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)C、OD、OA所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出B,C,D,E,F(xiàn)的坐標(biāo),得到→BF、→CD的坐標(biāo),由→BF•→CD=0,可得→BF⊥→CD,即BF⊥CD;
(Ⅱ)分別求出平面BCF與平面BFD的一個(gè)法向量,利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角C-BF-D的余弦值.
解答 (Ⅰ)證明:如圖,取BD中點(diǎn)O,連接OC,OA,
∵△BCD為正三角形,∴OC⊥BD,
∵面ABDE⊥面BCD,且面ABDE∩面BCD=BD,
∴OC⊥面ABDE,則OC⊥OA,
又AE∥DB,AE⊥DE,AE=12DB,
∴OA⊥OD.
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)C、OD、OA所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則B(0,-1,0),C(√3,0,0),D(0,1,0),E(0,1,1),F(xiàn)(√32,12,12).
→BF=(√32,32,12),→CD=(−√3,1,0),
∵→BF•→CD=−32+32=0,∴→BF⊥→CD,即BF⊥CD;
(Ⅱ)解:→BF=(√32,32,12),→BC=(√3,1,0),→BD=(0,2,0).
設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為→m=(x1,y1,z1),
由{→m•→BF=0→m•→BC=0,得{√32x1+32y1+12z1=0√3x1+y1=0,取x1=1,得→m=(1,−√3,2√3).
設(shè)平面BFD的一個(gè)法向量→n=(x2,y2,z2),
由{→n•→BF=0→n•→BD=0,得{√32x2+32y2+12z2=02y2=0,取x2=1,得→n=(1,0,−√3).
∴cos<→m,→n>=→m•→n|→m||→n|=1−64×2=−58.
∴二面角C-BF-D的余弦值為−58.
點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的判定和性質(zhì),考查空間想象能力和思維能力,訓(xùn)練了利用空間向量求解二面角的平面角,是中檔題.
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A. | A∩B=∅ | B. | ∁UA∪B=R | C. | A∩B=B | D. | A∪B=B |
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A. | \frac{{3-4\sqrt{3}}}{10} | B. | \frac{{3+4\sqrt{3}}}{10} | C. | \frac{{-3-4\sqrt{3}}}{10} | D. | \frac{{-3+4\sqrt{3}}}{10} |
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A. | y=\sqrt{x} | B. | y=|sinx| | C. | y=ex-e-x | D. | y=cosx |
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