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12.如圖所示,在多面體ABCDE中,△BCD是邊長為2的正三角形,AE∥DB,AE⊥DE,2AE=BD,DE=1,面ABDE⊥面BCD,F(xiàn)是CE的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:BF⊥CD;
(Ⅱ)求二面角C-BF-D的余弦值.

分析 (Ⅰ)取BD中點(diǎn)O,連接OC,OA,由題意可證OC、OD、OA兩兩互相垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)C、OD、OA所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出B,C,D,E,F(xiàn)的坐標(biāo),得到BFCD的坐標(biāo),由BFCD=0,可得BFCD,即BF⊥CD;
(Ⅱ)分別求出平面BCF與平面BFD的一個(gè)法向量,利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角C-BF-D的余弦值.

解答 (Ⅰ)證明:如圖,取BD中點(diǎn)O,連接OC,OA,

∵△BCD為正三角形,∴OC⊥BD,
∵面ABDE⊥面BCD,且面ABDE∩面BCD=BD,
∴OC⊥面ABDE,則OC⊥OA,
又AE∥DB,AE⊥DE,AE=12DB,
∴OA⊥OD.
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)C、OD、OA所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則B(0,-1,0),C(3,0,0),D(0,1,0),E(0,1,1),F(xiàn)(321212).
BF=323212,CD=310,
BFCD=32+32=0,∴BFCD,即BF⊥CD;
(Ⅱ)解:BF=323212,BC=310,BD=020
設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為m=x1y1z1
{mBF=0mBC=0,得{32x1+32y1+12z1=03x1+y1=0,取x1=1,得m=1323
設(shè)平面BFD的一個(gè)法向量n=x2y2z2,
{nBF=0nBD=0,得{32x2+32y2+12z2=02y2=0,取x2=1,得n=103
∴cos<mn>=mn|m||n|=164×2=58
∴二面角C-BF-D的余弦值為58

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的判定和性質(zhì),考查空間想象能力和思維能力,訓(xùn)練了利用空間向量求解二面角的平面角,是中檔題.

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