Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²+x-1）e^x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若a=-1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，切線的斜率，切點的坐標，代入切線方程求出即可，（2）求出函數(shù)的導數(shù)，解不等式求出單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²+x-1）e^x，
∴f′（x）=（2x+1）e^x+（x²+x-1）e^x=（x²+3x）e^x，
∴k=f′（1）=4e，
∵f（1）=e，
∴所求切線方程為：4ex-y-3e=0，
（Ⅱ）∵f（x）=（-x²+x-1）e^x，
∴f′（x）=-x（x+1）e^x，
令f′（x）＜0，解得：x＜-1，x＞0，
令f′x）＞0，解得：-1＜x＜0，
∴f（x）的減區(qū)間為（-∞，-1），（0，+∞），增區(qū)間為（-1，0）．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，是一道基礎(chǔ)題．