Question

【題目】已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)M(1，），過點(diǎn)P(2,1）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B.

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在直線l，滿足？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】試題分析（1）先設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)代入得到一個(gè)方程，根據(jù)離心率得到一個(gè)關(guān)系式，再由可得到的值，進(jìn)而得到橢圓的方程．（2）假設(shè)存在直線滿足條件，設(shè)直線方程為，然后與橢圓方程聯(lián)立消去得到一元二次方程，且方程一定有兩根，故應(yīng)大于得到的范圍，進(jìn)而可得到兩根之和、兩根之積的表達(dá)式，再表示出，再代入關(guān)系式可確定的值，從而得解．

試題解析：(1）設(shè)橢圓C的方程為，

由題意得解得.故橢圓C的方程為.

(2）若存在直線l滿足條件，由題意可設(shè)直線l的方程為，由

得.

因?yàn)橹本�l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，

設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

所以

整理得，解得.

又，，且

即，

所以，

即.

所以，

解得.

所以k＝.于是存在直線l滿足條件，

其方程為.