Question

已知三邊長(zhǎng)分別為4、5、6的△ABC的外接圓恰好是球O的一個(gè)大圓，P為球面上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則三棱錐P-ABC的體積為：（　�。�

• A、8
• B、10
• C、20
• D、30

Answer 1

分析：由題設(shè)條件知，三棱錐的高是球的半徑，而底面三角形的外接圓是球O的一個(gè)大圓，此關(guān)系使得求三棱錐P-ABC的體積時(shí)無(wú)需再考慮求球的半徑，因其在求解中正好可以消去，使得此幾何體的體積只與三角形的邊長(zhǎng)有關(guān)．

解答：解：P在面ABC上的射影為O，則OA=OB=OC=OP=R，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

abc

4R

∴V_P-ABC=

1

3

SABCR=

abc

12

=10，
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查球內(nèi)接多面體的幾何特征，以及利用這些幾何特征靈活組合達(dá)到簡(jiǎn)化解題的目的，本題由于注意三棱錐的高是其外接球的半徑，而其底面三角形外接圓恰是球的大圓這一特征，使解體過(guò)程越過(guò)了求棱錐高，直接用三個(gè)邊長(zhǎng)把棱錐的體積表示出來(lái)，此題的解題過(guò)程提示我們，解題時(shí)一定要綜合利用題設(shè)中所給的每一個(gè)條件進(jìn)行合理的組合，組合出一個(gè)最佳的解題方案．