Question

已知橢圓具有性質：若是橢圓：且為常數上關于原點對稱的兩點，點是橢圓上的任意一點，若直線和的斜率都存在，并分別記為，，那么與之積是與點位置無關的定值．
試對雙曲線且為常數寫出類似的性質，并加以證明．

Answer 1

雙曲線類似的性質為：若是雙曲線且為常數上關于原點對稱的兩點，點是雙曲線上的任意一點，若直線和的斜率都存在，并分別記為，，那么與之積是與點位置無關的定值．

解析試題分析：雙曲線類似的性質為：若是雙曲線且為常數上關于原點對稱的兩點，點是雙曲線上的任意一點，若直線和的斜率都存在，并分別記為，，那么與之積是與點位置無關的定值．
證明：設，，則，
且①，②，
兩式相減得：，
所以是與點位置無關的定值．
考點：本題主要考查雙曲線的幾何性質，直線與雙曲線、橢圓的位置關系。
點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題主要運用雙曲線的幾何性質。（2）作為研究直線的斜率乘積是否為定值問題，應用韋達定理，通過“整體代換”，簡化了探究過程。