如圖,某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道,車道總寬22米,要求通行車輛限高4.5米,隧道全長(zhǎng)2.5千米,隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀.

(Ⅰ)若最大拱高h(yuǎn)為6米,則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少?

(Ⅱ)若最大拱高h(yuǎn)不小于6米,則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l,才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最小?

(半個(gè)橢圓的面積公式為S=lh,柱體體積為:底面積乘以高.本題結(jié)果均精確到0.1米)

答案:
解析:

  [解]  (Ⅰ)如圖建立直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)P(11,4.5),橢圓方程為=1.

  將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入圓方程,得a=,此時(shí)l=2a=≈33.3.  因此隧道的拱寬約為33.3米.

  (Ⅱ)[解一]由橢圓方程=1,得=1.

  因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60B1/0004/1047/6ff78849616ef14cd0ace76e79e04e6b/C/Image14084.gif">+,即ab≥99,且l=2a,h=b,所以S=lh=.  當(dāng)S取最小值時(shí),有,得a=11,b=

  此時(shí)l=2a=22≈31.1,h=b≈6.4.

  故當(dāng)拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時(shí),土方工程量最�。�

  [解二]  由橢圓方程=1,得=1.于是b2·

  a2b2(a2-121++242)≥(+242)=81×121,

  即ab≥99,當(dāng)S取最小值時(shí),有a2-121=,

  得a=11,b=.以下同解一.


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(2)

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