Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=\frac{3}{2}$，a_n+1=3a_n-1（n∈N₊）．
（1）若數(shù)列{b_n}滿足${b_n}={a_n}-\frac{1}{2}$，求證：{b_n}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=log₃a_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求證：${T_n}＞\frac{n（n-1）}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式推出${a_{n+1}}-\frac{1}{2}=3（{a_n}-\frac{1}{2}）（n∈{N^*}）$，然后證明{b_n}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列．
（2）求出${b_n}={3^{n-1}}$，化簡${a_n}={3^{n-1}}+\frac{1}{2}$，推出${c_n}={log_3}（{3^{n-1}}+\frac{1}{2}）＞{log_3}{3^{n-1}}=n-1$，然后通過數(shù)列求和，證明結(jié)果．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由題可知${a_{n+1}}-\frac{1}{2}=3（{a_n}-\frac{1}{2}）（n∈{N^*}）$，
從而有b_n+1=3b_n，${b_1}={a_1}-\frac{1}{2}=1$，
所以{b_n}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列．（6分）
（2）由（1）知${b_n}={3^{n-1}}$，
從而${a_n}={3^{n-1}}+\frac{1}{2}$，${c_n}={log_3}（{3^{n-1}}+\frac{1}{2}）＞{log_3}{3^{n-1}}=n-1$，
有${T_n}={c_1}+{c_2}+…+{c_n}＞0+1+2+…n-1=\frac{n（n-1）}{2}$，
所以${T_n}＞\frac{n（n-1）}{2}$．（12分）

點評 本題考查等比數(shù)列及利用不等式性質(zhì)證明與數(shù)列前n項和有關(guān)的不等式．