已知圓O的方程為x2+y2=13,直線l:x0x+y0y=13,設(shè)點(diǎn)A(x0,y0).
(1)若點(diǎn)A在圓O外,試判斷直線l與圓O的位置關(guān)系;
(2)若點(diǎn)A在圓O上,且x0=2,y0>0,過點(diǎn)A作直線AM,AN分別交圓O于M,N兩點(diǎn),且直線AM和AN的斜率互為相反數(shù).
①若直線AM過點(diǎn)O,求tan∠MAN的值;
②試問:不論直線AM的斜率怎么變化,直線MN的斜率是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由.
考點(diǎn):直線與圓的位置關(guān)系,直線的斜率
專題:
分析:(1)由點(diǎn)A在圓O外,可得x02+y02 >13,求得圓心到直線的距離d小于半徑,可得直線和圓相交.
(2)由條件求得點(diǎn)A(2,3).①若直線AM過點(diǎn)O,求得AM的斜率,可得AN的斜率KAN=-
3
2
,再利用兩條直線的夾角公式求得tan∠MAN=|
KAM-KAN
1+KAM•KAN
|的值.
②由直線AM和AN的傾斜角互補(bǔ),可得△AMN為等腰三角形,直線MN平行于x軸,故MN的斜率是0,為定值.
解答: 解:(1)∵點(diǎn)A在圓O外,∴x02+y02 >13,
由于圓心(0,0)到直線l:x0x+y0y=13的距離d=
13
x02+y02
13
=r,
故直線和圓相交.
(2)∵點(diǎn)A在圓O上,且x0=2,y0>0,可得y0=3,∴點(diǎn)A(2,3).
①若直線AM過點(diǎn)O,則AM的斜率為 KAM=
3
2
,∴KAN=-
3
2
,tan∠MAN=|
KAM-KAN
1+KAM•KAN
|=|
3
2
+
3
2
1+
3
2
(-
3
2
)
|=
12
5

②不論直線AM的斜率怎么變化,∵直線AM和AN的斜率互為相反數(shù),
∴直線AM和AN的傾斜角互補(bǔ),故△AMN為等腰三角形,
直線MN平行于x軸,故MN的斜率是0,為定值.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查點(diǎn)和圓的位置關(guān)系,直線和圓的位置關(guān)系,直線的傾斜角和斜率,兩條直線的夾角公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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若α,β滿足α-β=π,那么下列式子中正確的是( 。
A、sinα=sinβ
B、sinα=-sinβ
C、cosα=cosβ
D、cosα=sinβ

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可以用集合語言將“公理1:如果直線l上有兩個(gè)點(diǎn)在平面α上,那么直線l在平面α上.”表述為( 。
A、A?l,B?l且A?α,B?α,則l?α
B、若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,則l∈α
C、若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,則l?α
D、若A∈l,B∈l且A?α,B?α,則l∈α

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面α、β、γ,則下列命題中正確的是( 。
A、α⊥β,α∩β=a,a⊥b,則b⊥α
B、α⊥β,β⊥γ,則α∥γ
C、α∩β=a,β∩γ=b,α⊥β,則a⊥b
D、α∥β,β⊥γ,則α⊥γ

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)y=
ex
x
在區(qū)間[
1
2
,2]上的最小值為( 。
A、2
e
B、
1
2
e2
C、
1
e
D、e

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)f(n)=
12•1+22•3+…n2•(2n-1)
n(n+1)

(Ⅰ)求f(1)、f(2)、f(3);
(Ⅱ)是否存在常數(shù)a,b,c使得f(n)=an2+bn+c對(duì)一切自然數(shù)n都成立?并證明你的結(jié)論.

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已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+
π
6

(1)求函數(shù)f(x)的周期
(2)若α∈(0,
π
2
),β∈(π,2π),f(
α
2
-
π
12
)=
8
5
,f(
β
2
+
π
6
)=
10
13
,求cos(α+β)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線y=
1
3
x3+
4
3

(1)求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程;
(2)求曲線過點(diǎn)P(2,4)的切線方程;
(3)求斜率為1的曲線的切線方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)y=x4-
5
x2

(2)y=xtanx
(3)y=(x+1)(x+2)(x+3)
(4)y=lgx-2x

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