Question

設(shè)函數(shù)f（log₂x）=

x

x2+1

（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（2x²-λx）≥

2

5

對任意x∈[

1

2

，1]恒成立，求常數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）換元，令t=log₂x，則x=2^t，故f（t）=

2t

22t+1

，故f（x）=

2x

22x+1

；
（2）先驗證函數(shù)為偶函數(shù)，再由f（2x²-λx）≥

2

5

=f（1）?f（|2x²-λx|）≥f（1），進一步λ≤2x-

1

x

的最小值，或λ≥2x+

1

x

的最大值，
求最值即可解決．

解答： 解：（1）令t=log₂x，則x=2^t，故f（t）=

2t

22t+1

，故f（x）=

2x

22x+1

；
（2）f（-x）=

2-x

2-2x+1

=

2-x•22x

2-2x•22x+22x

=

2x

22x+1

=f（x），故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)且在[0，+∞）遞增，
又f（1）=

2

5

，∴f（2x²-λx）≥

2

5

=f（1）?f（|2x²-λx|）≥f（1），
∴|2x²-λx|≥1，
∴2x²-λx≥1，或2x²-λx≤-1，
∴2x²-1≥λx，或2x²+1≤λx，
∴λ≤2x-

1

x

，或λ≥2x+

1

x

，
∴λ≤2x-

1

x

的最小值，或λ≥2x+

1

x

的最大值，
∵x∈[

1

2

，1]時2x-

1

x

的最小值為-1，2x+

1

x

的最大值為3，
∴λ≤-1或λ≥3，
故λ的取值范圍為{λ|λ≤-1或λ≥3}．

點評：本題主要考查函數(shù)解析式的求法，同時考查函數(shù)與不等式的關(guān)系，做題時要注意轉(zhuǎn)化．