Question

某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺(tái)某產(chǎn)品的A，B，C三種部件的訂單，每臺(tái)產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2，2，1(單位：件)．已知每個(gè)工人每天可生產(chǎn)A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．該企業(yè)計(jì)劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k(k為正整數(shù))．

(1)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x，分別寫(xiě)出完成A，B，C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間；

(2)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開(kāi)工，試確定正整數(shù)k的值，使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)設(shè)完成A，B，C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時(shí)間(單位：天)分別為 　　由題設(shè)有 　　 　　期中均為1到200之間的正整數(shù)． 　　(Ⅱ)完成訂單任務(wù)的時(shí)間為其定義域?yàn)?/P> 　　易知，為減函數(shù)，為增函數(shù)．注意到 　　于是 　　(1)當(dāng)時(shí)，此時(shí) 　　， 　　由函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)取得最小值，解得 　　．由于 　　． 　　故當(dāng)時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，且最短時(shí)間為． 　　(2)當(dāng)時(shí)，由于為正整數(shù)，故，此時(shí)易知為增函數(shù)，則 　　 　　 　　． 　　由函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)取得最小值，解得．由于 　　此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間大于． 　　(3)當(dāng)時(shí)，由于為正整數(shù)，故，此時(shí)由函數(shù)的單調(diào)性知， 　　當(dāng)時(shí)取得最小值，解得．類(lèi)似(1)的討論．此時(shí) 　　完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間為，大于． 　　綜上所述，當(dāng)時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，此時(shí)生產(chǎn)A，B，C三種部件的人數(shù)分別為44，88，68．

提示：

本題為函數(shù)的應(yīng)用題，考查分段函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、最值等，考查運(yùn)算能力及用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的能力．第一問(wèn)建立函數(shù)模型；第二問(wèn)利用單調(diào)性與最值來(lái)解決，體現(xiàn)分類(lèi)討論思想．