Question

（1）寫出下列函數(shù)的單調區(qū)間：①y=-x²+2|x|+1；②y=|-x²+2x+3|
（2）函數(shù)f(x)=

ax2+1，x≥0 (a2-1)eax，x＜0

在R上單調，則a的取值范圍是

（-∞，-

2

]∪（1，

2

]

．

Answer 1

分析：（1）由題意去掉絕對值可化函數(shù)為分段函數(shù)，分別求其單調區(qū)間可得；
（2）分類討論：函數(shù)在R上單調遞減，可得

a＜0 a2-1＞0 (a2-1)e0≥1

，函數(shù)在R上單調遞增，可得

a＞0 a2-1＞0 (a2-1)e0≤1

，解不等式可得a的范圍．

解答：解：（1）①當x≥0時，y=-x²+2|x|+1=y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，
此時函數(shù)在[0，1]單調遞增，在[1，+∞）是上單調遞減．
當x＜0時，y=-x²+2|x|+1=y=-x²-2x+1=-（x+1）²+2，
此時函數(shù)在[-1，0）單調遞減，在（-∞，-1）是上單調遞增．
∴函數(shù)的增區(qū)間為[0，1]和（-∞，-1），函數(shù)的減區(qū)間為[-1，0）和[1，+∞）．
②原函數(shù)可化為：y=|-x²+2x+3|=|x²-2x-3|，
當x²-2x-3≥0，即x≥3或x≤-1，y=|x²-2x-3|=x²-2x-3，
此時可得函數(shù)在[3，+∞）單調遞增，在（-∞，-1]單調遞減，
當x²-2x-3＜0，即-1＜x＜1，y=|x²-2x-3|=-x²+2x+3，
此時可得函數(shù)在（-1，1]單調遞增，在[1，3）單調遞減，
∴函數(shù)的增區(qū)間為[3，+∞）和（-1，1]，函數(shù)的減區(qū)間為（-∞，-1]和[1，3）
（2）若函數(shù)在R上單調遞減，則

a＜0 a2-1＞0 (a2-1)e0≥1

，解得a≤-

2

，
若函數(shù)在R上單調遞增，則

a＞0 a2-1＞0 (a2-1)e0≤1

，解得1＜a≤

2

，
∴a的取值范圍是（-∞，-

2

]∪（1，

2

]
故答案為：（-∞，-

2

]∪（1，

2

]

點評：本題考查函數(shù)的單調性的判斷與證明，涉及函數(shù)單調性的性質，屬中檔題．