Question

已知A（-3，0），B（3，0），三角形PAB的內切圓的圓心M在直線x=2上移動．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）某同學經研究作出判斷，曲線C在P點處的切線恒過點M，試問：其判斷是否正確？若正確，請給出證明；否則說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為三角形PAB的內切圓的圓心M在直線x=2上移動，以及A，B點坐標，可判斷P點的軌跡C為以A、B為焦點的雙曲線的右支（除去頂點），利用雙曲線的定義可求出點P的軌跡C的方程．
（2）因為點M是三角形PAB的內切圓的圓心，若曲線C在P點處的切線恒過點M，則PQ平分∠APB，所以只需證明PQ平分∠APB即可，利用成比例線段可得．
解答：解：（1）設P（x，y）（y≠0），三角形PAB的內切圓M與PA、PB、AB的切點分別為E、F、H
則|PE|=|PF|，|AE|=|AH|，|BF|=|BH|．
∴|PA|-|PB|=|AE|-|BF|=|AH|-|BH|=5-1=4
∴P點的軌跡C為以A、B為焦點的雙曲線的右支（除去頂點）
∴曲線C的方程為
（2）此同學的判斷是正確的
設P點處曲線的切線交x軸于點Q，下證：PQ平分∠APB．
不妨設P（x，y）（y＞0）．
∵當x＞2，y＞0時，曲線C滿足∴，
則曲線C在點P處的切線的斜率
∴直線PQ的方程為．
取y=0，
得∴
∴
又∴，即PQ平分∠PAB
∴PQ恒過點M，得證
點評：本題考查了橢圓定義的應用，以及恒過定點問題，做題時應認真分析，找到突破口．