Question

（12分） 設(shè)函數(shù)（），．

(1) 將函數(shù)圖象向右平移一個單位即可得到函數(shù)的圖象，試寫出的解析式及值域；

(2) 關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)的取值范圍；

(3) 對于函數(shù)與定義域上的任意實數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”．設(shè)，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），值域為　　　　　　　　

（2）解法一:不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，

等價于恰有三個整數(shù)解，故，　　　　　　

令，由且，

所以函數(shù)的一個零點在區(qū)間，

則另一個零點一定在區(qū)間，　　　　　　　　　　　　　　　

故解之得．　　　　　　　　　　　　　　　　

解法二：恰有三個整數(shù)解，故，即，

，

所以，又因為，　

所以，解之得．　　　　　　　　　　

（3）設(shè)，則．

所以當時，；當時，．

因此時，取得最小值，

則與的圖象在處有公共點．　　　　　　

設(shè)與存在 “分界線”，方程為，

即，

由在恒成立，則在恒成立 ．

所以成立，

因此．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

下面證明恒成立．

 設(shè)，則．

 所以當時，；當時，．

因此時取得最大值，則成立．

故所求“分界線”方程為：．

【解析】略