Question

下列結論：
（1）實數a，b，c成公比為q的等比數列，b，c，a成等差數列，則q=1；
（2）數列前n項和是S_n，則等差數列中，S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m一定構成等差數列，等比數列中，S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m一定構成等比數列；
（3）數列{a_n}各項均不為0，前n項和S_n=

an+1

3

，則數列{a_n}是等比數列．
（4）銳角△ABC中sinC＞cosB一定成立．
其中正確的個數有（　�。�

• A、3個
• B、2個
• C、1個
• D、0個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,等差數列與等比數列,解三角形

分析：（1）由等差數列和等比數列的性質，即可得到公比；
（2）求等差數列的通項和求和，即可判斷每隔m項求和成等差數列．取公比為-1，m為偶數，則每隔m項求和均為0，不為等比數列；
（3）由數列的通項和前n項和的關系式，即可判斷（3）；
（4）由銳角三角形中B+C＞

π

2

，則C＞

π

2

-B，兩邊取正弦，即可判斷．

解答： 解：（1）實數a，b，c成公比為q的等比數列，b，c，a成等差數列，則b²=ac，且a+b=2c，消去b，得
（2c-a）²=ac，化簡得a=c或a=4c，即公比為1或±2，故（1）錯；
（2）數列前n項和是S_n，則等差數列中，S_m，S_2m-S_m=S_m+m²d，S_3m-S_2m=S_m+2m²d，構成等差數列，
等比數列中，若公比為-1，m為偶數，則S_m=0，S_2m-S_m=0，S_3m-S_2m=0，則不為等比數列，故（2）錯；
（3）數列{a_n}各項均不為0，前n項和S_n=

an+1

3

，則S_n-1=

an

3

，（n＞1），相減得
a_n=

an+1

3

-

an

3

，則a_n+1=4a_n，（n＞1），由于首項未知，故不能確定為等比數列，故（3）錯；
（4）銳角△ABC中，B+C＞

π

2

，則C＞

π

2

-B，即有sinC＞cosB成立，故（4）對．
故選：C．

點評：本題考查等比數列和等差數列的通項和求和，以及性質的運用，考查數列的通項與前n項和的關系，同時考查三角函數的單調性及運用，屬于中檔題．