Question

【題目】設(shè)函數(shù)，

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)a分類討論得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)進(jìn)而得到單調(diào)性；（2）對(duì)a分情況討論，在不同的范圍下，得到函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而去掉絕對(duì)值，再構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.

（1）∵，（）

①若，則，故在為增函數(shù)

②若時(shí)，則，，

故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)

（2）①若，則

由（1）知在為增函數(shù)，又，所以對(duì)恒成立，

則

設(shè)，（），則等價(jià)于

，，，

故在遞減，在遞增，而，顯然當(dāng)，，

故不存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意都有恒成立，

故不滿足條件

②若，則，由（1）知在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，∵，

∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)

∴設(shè)，，此時(shí)等價(jià)于

，

（i）若，∵∴，在為增函數(shù)，

∵，∴，

故不存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意都有恒成立，

故不滿足條件

（ii）若，易知在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

∵，∴，，故存在正實(shí)數(shù)，（可取）

使得對(duì)任意都有恒成立，故滿足條件