(2009•閘北區(qū)一模)設(shè)f(x)=2cos2x+
3
sin2x
g(x)=
1
2
f(x+
12
)+ax+b
,其中a,b為非零實(shí)常數(shù).
(1)若f(x)=1-
3
x∈[-
π
3
,
π
3
]
,求x;
(2)若x∈R,試討論函數(shù)g(x)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;
(3)已知:對(duì)于任意x1,x2∈R,恒有sin2x1-sin2x2≤2(x1-x2),當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí),等號(hào)成立.若a≥2,求證:函數(shù)g(x)在R上是遞增函數(shù).
分析:(1)由已知中f(x)=2cos2x+
3
sin2x
=1+2sin(2x+
π
6
)
,根據(jù)f(x)=1-
3
,x∈[-
π
3
,
π
3
]
,我們要以構(gòu)造一個(gè)三角方程,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到答案.
(2)由已知中g(x)=ax-sin2x+b+
1
2
,根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義及性質(zhì),以及正弦型函數(shù)的性質(zhì),對(duì)b的值進(jìn)行分類討論,最后綜合討論結(jié)果,即可得到結(jié)論.
(3)由已知中對(duì)于任意x1,x2∈R,恒有sin2x1-sin2x2≤2(x1-x2),已知中不應(yīng)該含絕對(duì)值吧,結(jié)合已知中g(x)=
1
2
f(x+
12
)+ax+b
,利用作差法,易判斷出g(x1)-g(x2)<0,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,得到結(jié)論.
解答:解:(1)由已知f(x)=2cos2x+
3
sin2x
=1+2sin(2x+
π
6
)
,(2分)
1+2sin(2x+
π
6
)=1-
3
得:sin(2x+
π
6
)=-
3
2
,(1分)
-
π
3
≤x≤
π
3
-
π
2
≤2x+
π
6
6
(1分)
2x+
π
6
=-
π
3
,x=-
π
4
.          (1分)
(2)由已知,得g(x)=ax-sin2x+b+
1
2
,(1分)
①∵當(dāng)b=-
1
2
時(shí),對(duì)于任意的x∈R,總有g(shù)(-x)=-ax-sin(-2x)=-(ax-sin2x)=-g(x),
∴g(x)是奇函數(shù).(2分)(沒有過程扣1分)
②當(dāng)b≠-
1
2
時(shí),∵g(
π
2
)≠±g(-
π
2
)
或g(π)≠±g(-π)等
所以,g(x)既不是奇函數(shù),又不是偶函數(shù). (2分)(沒有過程扣1分)
(3)對(duì)于任意x1,x2∈R,且x1<x2,由已知,有sin2x2-sin2x1<2(x2-x1),(2分)
∴g(x1)-g(x2)=a(x1-x2)+(sin2x2-sin2x1)<(a-2)(x1-x2),
∵a≥2,∴g(x1)-g(x2)<0.    (3分)
故,函數(shù)g(x)是遞增函數(shù).         (1分)
注:由于用求導(dǎo)的方法證明不用已知條件,不給分.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用,輔助角公式,正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì),函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的單調(diào)性,是函數(shù)問題比較綜合的考查,熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•閘北區(qū)一模)一校辦服裝廠花費(fèi)2萬(wàn)元購(gòu)買某品牌運(yùn)動(dòng)裝的生產(chǎn)與銷售權(quán).根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),每生產(chǎn)1百套這種品牌運(yùn)動(dòng)裝的成本為1萬(wàn)元,每生產(chǎn)x (百套)的銷售額R(x) (萬(wàn)元)滿足:R(x)=
-0.4x2+4.2x-0.8,0<x≤5
14.7-
9
x-3
,x>5

(1)該服裝廠生產(chǎn)750套此種品牌運(yùn)動(dòng)裝可獲得利潤(rùn)多少萬(wàn)元?
(2)該服裝廠生產(chǎn)多少套此種品牌運(yùn)動(dòng)裝利潤(rùn)最大?此時(shí),利潤(rùn)是多少萬(wàn)元?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•閘北區(qū)一模)若不等式|x-1|+|x+2|≥4a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
(-∞,log43]
(-∞,log43]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•閘北區(qū)一模)若f(x)=3x,則f-1(x)=
log3x
log3x

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•閘北區(qū)一模)若指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,
14
)
,則f(-1)的值為
2
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•閘北區(qū)一模)設(shè)f(x)=2cos2x+
3
sin2x
g(x)=
1
2
f(x+
12
)+x+a
,其中a為非零實(shí)常數(shù).
(1)若f(x)=1-
3
,x∈[-
π
3
,
π
3
]
,求x;
(2)試討論函數(shù)g(x)在R上的奇偶性與單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案