Question

已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點F(1，0)，C1的中心和C2的頂點都在坐標原點，過點M(4，0)的直線l與拋物線C2分別相交于A ，B兩點．

(1)如圖所示，若，求直線l的方程；

(2)若坐標原點O關(guān)于直線l的對稱點P在拋物線C2上，直線l與橢圓C1有公共點，求橢圓C1的長軸長的最小值．

 

 

Answer 1

（1）；（2）長軸長的最小值為.

【解析】

試題分析：（1）首先求得拋物線方程為 .

設(shè)直線方程為，并設(shè)

利用，得到 ；

聯(lián)立，可得，應(yīng)用韋達定理得到 ，

從而得到，求得直線方程.

（2）可求得對稱點，

代入拋物線中可得：，直線方程為，考慮到對稱性不妨取,

橢圓設(shè)為聯(lián)立直線、橢圓方程并消元整理可得，

由，可得 ，即得解.

（1）由題知拋物線方程為 。 2分

設(shè)直線方程為，并設(shè)

因為，所以.

聯(lián)立，可得，有 4分

解得：，所以直線方程為： 6分

（2）可求得對稱點， 8分

代入拋物線中可得：，直線方程為，考慮到對稱性不妨取,

設(shè)橢圓方程為，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元整理得， 10分

因為橢圓與直線有交點，所以，

即：，解得 12分

即

∴長軸長的最小值為.. 13分

考點：拋物線及其標準方程，橢圓方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.