Question

如圖，在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別為正方形ABCD和AA₁B₁B的重心．
（1）求證：AC₁⊥平面A₁BD
（2）求

D1M

與

CN

夾角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由

AC1

•

DA1

=0，

AC1

•

DB

=0，能證明AC₁⊥平面A₁BD．
（2）由已知得M（1，1，0），N（2，1，1），從而

D1M

=（1，1，-2），

CN

=（2，-1，1），由此利用向量法能求出

D1M

與

CN

夾角的余弦值．

解答： （1）證明：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，
DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，
A（2，0，0），C₁（0，2，2），
A₁（2，0，2），B（2，2，0），
D（0，0，0），

AC1

=（-2，2，2），

DA1

=（2，0，2），

DB

=（2，2，0），
∴

AC1

•

DA1

=0，

AC1

•

DB

=0，
∴AC₁⊥DA₁，AC₁⊥DB，
又DA₁∩DB=D，
∴AC₁⊥平面A₁BD．
（2）解：∵M(jìn)，N分別為正方形ABCD和AA₁B₁B的重心，
∴M（1，1，0），N（2，1，1），
又D₁（0，0，2），C（0，2，0），
∴

D1M

=（1，1，-2），

CN

=（2，-1，1），
∴cos＜

D1M

，

CN

＞=

D1M • CN

| D1M |•| CN |

=

2-1-2

6 • 6

=-

1

6

．
∴

D1M

與

CN

夾角的余弦值為-

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查兩向量夾角余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．